BAC - MENTION

Des exercices de ROC pris d'annales de bac. Pour voir les réponses, il suffit de sélectionner le texte sur fond noir avec la souris. D'autres viendront s'ajouter au fil du temps.

 

EX1 Antilles-Guyane 2006

1) Prérequis : 

- la fonction logarithme népérien est dérivable sur ]0;+inf[ et sa fonction dérivée est la fonction inverse ( x -> 1/x )

- ln(1) = 0

Démontrer que pour tous réels strictement positifs a et x : 

ln (ax) = ln(a) + ln(x)

 

Question de cours, donc à vous de l'apprendre ! 

 

2)Utiliser le résultat précédent poru démontrer que : 

ln(1/b) = -ln(b) et que ln(a/b) = ln(a) - ln(b)

 

Petit indice : ln(1) = ln(b/b)

 

3) On donne 0,69 <= ln(2) <= 0,70 et 1,09 <= ln(3) <= 1,10.

En déduire des encadrements de ln(6), ln(1/6) et ln(3/8) 

 

1,78 <= ln(6) <= 1,8

-1,8 <= ln(1/6) <= -1,78

-1,01 <= ln(3/8) <= -0,97

 

EX1 Centres Etrangers 2006

Partie A : ROC

Prérequis : On rappelle les 2 résultats suivants :

(i) Si z est un nombre complexe non nul, on a l'équivalence suivante :

|z| = r
arg(z) = θ

équivaut à :

z = r(cos θ + i*sinθ )
r > 0

(ii) pour tous nombres réels a et b :

cos (a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
sin (a + b) = sin(a)*cos(b) + sin(b)*cos(a)

Soit z1 et z2 deux nombres complexes non nuls. Démontrer les relations :

|z1z2| = |z1||z2| et arg(z1*z2) = arg(z1) + arg(z2) à 2pi près.

 

Question de cours !! Faut apprendre !

 

Partie B : QCM

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et proposer une démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration consistera à fournir un contre-exemple. Une réponse sans démonstration vaut 0 point.

On rapelle que si z est un nombre complexe, z(barre)  désigne le conjugué de z et |z|  désigne le module de z.

1. Si z = -1/2 + 1/2*i , alors z^4 est un nombre réel.

Vrai : calculer z² puis (z²)² : on a z^4 = -1/4

2. Si z + z(barre) = 0,  alors z = 0.

Faux : jlaisse deviner les milliards de contre-exemple possibles

3. Si z + 1/z = 0, alors z=i ou z = -i.

Vrai : Attention, ne pas oublier de dire que z n'est pas nul. Pour mettre sur la voie : ça équivaut à z² +1² = 0 (oh la belle identité remarquable !)

4. Si |z| = 1 et si | z + z' | = 1, alors z' = 0

Faux : contre-exemple : z = 1 et z' = -1/2 + i*racine(3)/2

 

EX3, Inde 2006

Partie A : ROC

Soit a, b, c, d des réels tels que (a; b; c) != (différent de) (0; 0; 0)

Soit P le plan d'équation ax + by + cz + d = 0

On considère le point I de coordonnées (xI; yI; zI) et le vecteur n de coordonnées (a;b;c)

Le but de cette partie est de démontrer que la distance de I au plan P est égale à :

| axI + byI + czI + d | / racine(a² + b² + c²)

1. Soit delta la droite passant par I et orthogonal au plan P. Déterminer, en fonction de a,b,c,xI,yI et zI un système d'équations parametriques de delta

C'est du cours !! On incruste un petit "alpha" (de R) et on a : x = xI + alpha*a , etc.

2. On note H le point d'intersection de delta et P.

a. Justifier qu'il existe un réel k tel que (vecteur)IH = k*(vecteur)n

Si H est sur delta, forcément IH et n sont colinéaires donc...

b. Déterminer l'expression de k en fonction de a, b, c, d, xI, yI, zI

axH + byH + czH + d = 0

<->  a(xI + ka) + b(yI + kb) + c(zI + kc) + d = 0

On isole le k et on remplace dans le système obtenu question 1 :

xH = xI - (axI + byI + czI + d)/(a² + b² + c²) * a

etc..

 

c. En déduire que IH = | axI + byI + czI + d | / racine(a² + b² + c²)

IH = |k| * ||(vecteur)n||

avec ||n|| = racine(a² + b² + c²)

On écrit le tout et hop!

 

Partie B 

Le plan Q (on rigole pas là !) d'équation x - y + z - 11 = 0 est tangent à une sphère S de centre Oméga de coordonnées (1; -1; 3).

1. Déterminer le rayon de la sphère S.

Faut réutiliser la partie A hein ! On a d(Oméga, Q) = 6/racine(3)  = 2*racine(3)

2. Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite delta passant par Oméga et orthogonal au plan Q (on reste serieux j'ai dit !!)

On réutilise encore la partie A : on oublie pas qu'un vecteur directeur de delta est un vecteur normal à Q soit n(1; -1; 1) on obtient le systeme :

x = 1 + alpha

y = -1 - alpha

z = 3 + alpha

3. En déduire les coordonnées du point d'intersection de la sphère S et du plan Q (bon ok vas y marre toi :))

C'est à dire l'intersection entre delta et Q : on remplace x, y et z de l'équation du plan par ce qu'on a trouvé en question 2 et on a alpha = 2. D'ou le point (3; -3; 5)