BAC - MENTION

Je fais exprés de ne pas rédiger dans "les règles de l'art" car c'est à toi de le faire. J'espère qu'il n'y a pas d'erreurs. Pour lire les réponses, ils suffit de sélectionner le texte avec la souris ;)

EX1 : Amerique du nord 2006 : Probabilités

Aucune justification.

Une urne contient 10 bulletins de 3 sortes :

4 sont marqués "oui"

3 sont marqués "non"

3 sont marqués "blanc"

Lors d'un premier jeu, le joueur commence par miser 30centimes. Il tire un bulletin de l'urne et l'y remet après avoir lu.

Si "oui" : il gagne 60centimes. Si "non" il ne gagne rien. Si "blanc" il gagne 20 centimes.

1) Le jeu est-il favorable au joueur ? défavorable ? ou équitable ?

Calcul de l'espérange E(X) = 0,60 * 4/10 + 0,20 * 3/10 = 0,30  => C'est donc équitable.

2) Le joueur jour 4 parties indépendamment les unes des autres. La probabilité qu'il tire au moins une fois un bulletin marqué "oui"  est égale à :

a) 216/625

b) 544/625

c) 2/5

On peut passer par l'évènement inverse (qui vaut 81/625) et ainsi obtenir 544/625

Lors d'un second jeu, le joueur tire simultanément 2 bulletinsde l'urne.

3) La probabilité qu'il obtienne un tirage de deux bulletins de sortes différentes est égale à :

a) 4/15

b) 11/30

c) 11/15

Attention ! Les 3 évènements possibles sont incompatibles ! 

Si A l'évènement "un blanc et un non", on a : card(A)= (1 parmis 3)*(1 parmis 3) = 9

Card("3 évenements") : 12 + 12 + 9 = 33

p("3 évements") = 33/45 = 11/15

 

EX2, Antilles Guyane 2006 : Exponentiels et equations différentielles

1. L'équation e^2x - 3e^x - 4 = 0 admet dans R :

a) 0 solution 

b) 1 solution 

c) 2 solutions

d) plus de 2 solutions

On remplace ex par X, on a soit -1 soit 4, -1 n'était pas possible, il reste e^x = 4 ou x = ln4, réponse b

2. L'expression -e^-x :

a) n'est jamais négative

b) est toujours négative

c) n'est négative que si x est positif

d) n'est négative que si x est négatif

réponse b, un minimum de cours ca va de soit.

3. lim (2e^x - 1)/(e^x +2) (en +inf) =

a) -1/2

b) 1

c) 2

d) +inf

réponse c, fais les calculs 

4. L'équation différentielle y=2y'-1 a pour ensemble de solutions :

a) x -> k*e2^x -1

b) x -> k*e^0,5x +1

c) x -> k*e^0,5x -1

d) x -> k*e2^x + 1/2

(avec k dans R)

Ensemble de solutions : k*e0,5x - 0,5/0,5 . Réponse c

 

EX 2 Polynésie 2006 : Géométrie dans l'espace (Vrai / Faux)

Repère orthonormal (O; i; j; k), les points :

A(0; 0; 2)

B(0; 4; 0)

C(2; 0; 0)

I, milieu de [BC]

G l'isobarycentre de A B C

H projeté orthogonal de O sur le plan ABC

 

1) "l'ensemble des points M de l'espace tels que (vecteurs) AM . BC = 0 est le plan (AIO)"

FAUX : I a pour coordonnées (1; 2; 0) et appartient a l'ensemble de points tels que AM . BC = 0. Or AI . BC = -6 donc n'appartient pas à cet ensemble de points.

2) l'ensemble des points M de l'espace tels que (vecteurs) ||MB + MC|| = ||MB - MC|| est la sphère de diamètre [BC]

VRAI : ||MB + MC|| = 2MI et ||MB - MC|| = CB. Soit S l'ensemble de points tels que 2MI = CB, donc IM = CB/2 d'où I centre de la sphère de rayon CB/2 (donc diametre CB!)

3) le volume du tétraèdre OABC est égal à 4

FAUX : On remarque : B est sur l'axe ordonnée, C sur l'abscisse, A sur la profondeur.

Donc OA est orthogonal à (OBC) et OBC est un triangle rectangle en O.

Volume = 1/6*OA*OB*OC avec  OA = 2, OB = 4, OC = 2, d'où V = 8/3 

4) le plan ABC a pour équation cartésienne 2x + y + 2z = 4 et le point H a pour coordonnées (8/9; 4/9; 8/9)

VRAI : on vérifie dabord si A, B et C appartiennent au plan. OH est orthogonal a (ABC) et le vecteur n (2; 1; 2) est vecteur normal de ce plan. 

x = 2k

y = k

z = 2k

2x + y + 2z = 4

On remplace et on tombe juste :)

5) La droite (AG) admet pour représentation paramétrique : 

x = t

y = 2t

z = 2 - 2t

VRAI : Ca équivaut à 

x - 0 = 1 * t

y - 0 = 2 * t

z - 0 = -2 * t

c'est donc la droite passant par A ( 0; 0; 2) de vecteur directeur v(1; 2; -2)

Il s'agit de AG seulement si (vecteurs) v et AG sont colinéaires. 

G centre de gravité de ABC et I milieu de [BC], (vecteurs) AG = 2/3AI

d'où les coordonnées du vecteur AI (xI - xA; yI - yA; zI - zA) = (1; 2; -2) 

AG = 2/3AI = 2/3v. AG et u sont colinéaires.

 

EX4, La Réunion, 2006 : Géométrie dans l'espace 

2 réponses justes sur les 4 propositions.

Dans un repère orthonormal (O; i; j; k). 

1. Soit P le plan d'équation 2x + 3y + 4z - 1 = 0

a) La distance du point O au plan P est égale à 1

b) La distance du point O au plan P est égale à 1/racine(29)

c) Le vecteur n(1; 3/2; 2) est normal à P

d) Le plan Q d'équation -5x + 2y + z = 0 est parallèle au plan P

b est vraie

c est vraie : vecteur w (2;3;4) normal au plan est colinéaire au vecteur n : (vecteurs) n = 1/2w

2. Soit le plan P d'équation 2x + y - z = 0 et D la droite passant par A(1;1;1) et de vecteur directeur u(1;-4;-2)

a) La droite D est parallèle au plan P

b) La droite D est orthogonale au plan P

c) La droite D est sécante avec le plan P

d) Un system d'équation paramétrique de D est (t dans R) : 

x = 1 + t

y = 1 - 4t

z = 1 - 2t

a est vraie : (vecteurs) u . n = 0

d est vraie : soit M l'ensemble de points appartenant a D si & seulement si M( x y z ) et un réel t tel que (vecteurs) AM = t*u : 

x - 1 = t

y - 1 = -4t

z - 1 = -2t

3. Soit A(1;1;1) et E l'ensemble de points M (x;y;z) tels que :

x + y + z = 3

2x - z = 1

a) L'ensemble E contient un seul point : A

b) L'ensemble E est une droite passant par A

c) L'ensemble E est un plan passant par A

d) L'ensemble E est une droite de vecteur directeur u(1;-3;2)

b est vraie : A appartient a E car il vérifie les 2 équations. Les plans ne sont pas parallèles car leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Leur intersection est donc une droite.

d est vraie : En jouant avec les équations on a z = 2x - 1 et y = -3x + 4. On pose x = t :

x = t

y = 4 - 3t

z = -1 + 2t

Or si t = 1, on obtient le point A et un vecteur directeur u(1; -3; 2)

4. ABCD un tétraèdre quelconque. Soit P le plan passant par A et orthogonal à la droite (BC).

a) Le plan P contient toujours le point D

b) Le plan P contient toujours la hauteur (AH) du triangle ABC

c) Le plan P est toujours l'ensemble des points M de l'espace tels que : (vecteurs) BM.BC = BA.BC

d) Le plan P est toujours le plan médiateur du segment [BC]

b est vraie : H intersection de P avec (BC). Mais (BC) est orthogonal au plan P, donc est aussi orthogonal à toutes les droites du plan P et donc à (AH)

c est vraie : Soit Q l'ensemble de points M. M appartient à Q si :

(vecteurs) BM.BC = BA.BC 

<=> AM.BC = 0

Or ça correspond à l'ensemble des points du plan, orthogonal à (BC) et passant par A

Donc M appartient à Q si M appartient à P. On a donc bien l'ensemble M tels que BM.BC = BA.BC

 

EX1, Inde 2006 : exponentiels, dérivation, suites (Vrai / Faux)

1. Pour tout x de R, e^x désigne l'image de x par la fonction exponentielle

a) pour tous réels a et b : (e^a)^b = e^{a^b} (exponentiel de a puissance b)

b) Pour tous réels a et b : e^a-b = e^a / e^b

c) La droite d'équation y = x+1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle en son point d'abscisse 1.

a : Faux, b : Vrai,

c : Faux : f(x) = e^x, alors f(1) = e et f'(1) = e. Une équation de la tangent au point A(1;e) : y = e*x

2. Soit f une fonction numérique définie sur une intervalle ouvert I et soit a un élément de I

a) Si f est dérivable en a, alors f est continu en a

b) Si f est continu en a, alors f est dérivable en a

c) Si f est dérivable en a, alors la fonction h -> ( f(a+h) - f(a) )/ h admet une limite finie en 0.

a : Vrai, b : Faux (valeur absolue par exemple), c : Vrai (limite : f'(a) )

3. On considère deux suites (Un) et (Vn) définies sur N

a) Si lim Un = +inf et si lim Vn = -inf, alors lim(Un + Vn) = 0

b) Si (Un) converge vers un réel non nul et si lim Vn = +inf, alors la suite (Un*Vn) ne converge pas.

c) Si (Un) converge vers un réel non nul, si (Vn) est positive et si lim Vn = 0, alors la suite (Un/Vn) ne converge pas

d) Si (Un) et (Vn) convergent, alors la suite (Un/Vn) converge

a : Faux : Exemple : Un = 3n + 4 et Vn = -3n

b : Vrai

c : Vrai

d : Faux (Si lim Vn = 0 par ex) 

 

EX1 Amérique du nord, 2005 : Complexes

1. Dans le plan complexe, on donne les points A d'affixe -2 +3i , B d'affixe -3 - i , C d'affixe 2,08 + 1,98i. Le triable ABC est :

a) isocèle et non rectangle

b) rectangle et non isocèle

c) rectangle et isocèle

d) ni rectangle ni isocèle

réponse b  : AB ~ 4,1 . AC ~ 4,2 . BC ~ 5,9 et l'angle (vecteurs) (AB ; AC) = pi/2

2. A tout nombre complexe z différent de -2, on associe le nombre complexe z' défini par : 

z' = (z-4i) / (z+2)

L'ensemble des points M d'affixe z tels que |z'| = 1 est :

a) un cercle de rayon 1

b) une droite

c) une droite privée d'un point

d) un cercle privé d'un point

réponse b : |z'| = 1 <-> |z - 4i| = |z+2| on a donc 2 points : I d'affixe 4i et J d'affixe -2. D'où IM = JM avec M l'ensemble de points tels que |z'| = 1. C'est la médiatrice (IJ) donc une droite

3. Suite de la question 2.

L'ensemble des points M d'affixe z tels que z' est un réel est :

a) un cercle

b) une droite

c) une droite privée d'un point

d) un cercle privé d'un point

réponse b : Ecrire avec z = x + iy. En déduire la partie imaginaire de z' afin de savoir quand z' est réel.

4. Dans le plan complexe, on donne le point D d'affixe i. L'écriture complexe de la rotation de centre D et d'angle -pi/3 est :

a) z' = (1/2 - i*racine(3)/2)z - racine(3)/2 + 1/2*i

b) z' = (-1/2 + i*racine(3)/2)z - racine(3)/2 + 1/2*i

c) z' = (1/2 - i*racine(3)/2)z - racine(3)/2 - 1/2*i

d) z' = (1/2 - i*racine(3)/2)z + racine(3)/2 + 1/2*i

reponse a